ARCHIMEDE
Archimede,
vissuto nel 3° secolo a.C., fu uno dei più grandi matematici e
scienziati del mondo antico e divenne famoso per come difese dai
Romani la sua patria, Siracusa, durante la Seconda guerra punica.
Intorno alla sua figura si formò assai presto un alone di leggenda,
che contribuì a oscurare i risultati della sua opera. Gran parte dei
suoi lavori più importanti fu dimenticata già alla fine
dell'antichità, ma venne riscoperta durante il Rinascimento.
UN
MATEMATICO FUORI DAGLI SCHEMI
Archimede,
non scriveva lunghi trattati, in cui ogni passaggio della
dimostrazione veniva spiegato, ma brevi testi, dove la dimostrazione
di molte cose veniva lasciata al lettore. Si occupava principalmente
di argomenti che nessuno dei matematici greci aveva osato
affrontare: il volume della sfera e di altri corpi rotondi; l'area
compresa fra una parabola e una retta; lo studio della spirale, una
curva inventata da lui stesso; l'equilibrio dei corpi appesi e di
quelli immersi nell'acqua.
ARCHIMEDE
E IL SUO TEMPO
Archimede
nacque nel 287 a. C a Siracusa, la città all’epoca più potente e
ricca di tutta la Sicilia. Quando nel 264 iniziò la Prima Guerra
Punica fra i Romani e i Cartaginesi per il controllo della Sicilia e
di tutto il Mediterraneo Occidentale, il re di Siracusa, Gerone, pur
di conservare l’indipendenza della città si8 alleò con Roma.
Quando, alla fine della guerra, Roma s’impadronì di tutta la
Sicilia, Siracusa rimase la sola città indipendente. E’ probabile
che Archimede non abbia assistito a questi sconvolgimenti. Sembra
quasi certo, infatti, che egli abbia compiuto i suoi studi di
matematica ad Alessandria, capitale culturale del mondo ellenistico e
anche della ricerca matematica dell’epoca.
LE
SUE INVENZIONI
Archimede
fu un personaggio poliedrico, come abbiamo potuto osservare. Fu un
matematico, un fisico, uno scienziato complesso e quindi non ci
stupisce che fosse anche un inventore di sorprendente genialità. A
lui furono attribuite numerosissime invenzioni fra le quali la vite
senza fine (coclea),
un planetario, gli specchi ustori e potenti e originali macchine
belliche. Ancora una volta è necessario osservare che spesso la
leggenda che avvolge lo studioso rende difficile distinguere il mito
dalla realtà. E' certo, però, che ci sono giunte diverse
testimonianze di storici noti, come Plutarco o Livio, che ci aiutano
nel nostro studio. La
"vite di
Archimede"
o
"coclea" (chiamata
così perché la sua forma ricorda una chiocciola) è un macchinario
idraulico.
Permette
di spostare grandi quantità di acqua da un livello più basso a uno
più alto (come nel caso dei pozzi). E' costituita da un cilindro in
cui è situata una massiccia spirale di legno. Veniva collocata
inclinata nell'acqua, con le estremità aperte, in modo tale che
l'acqua potesse fuoriuscire in alto passando per le volute della
spirale, il tutto è azionato da una manovella.
ARCHIMEDE
E LA MATEMATICA
La
natura predilige però un altro tipo di spirale, quella conosciuta
con più nomi: la spirale logaritmica equi angolare, detta anche
spirale aurea. Per ottenere questa spirale con le costruzioni
geometriche si deve prima di tutto ricavare la sezione aurea di un
segmento. Definiamo sezione aurea di un qualsiasi segmento quella sua
parte la cui lunghezza si ottiene così:
•
si divide il segmento AB
(che per semplicità immaginiamo lungo 1 unità) in due parti AC e CB
di cui AC sia diversa da CB
•
si imposta la proporzione :
: (significa che il rapporto tra una parte e l'altra è uguale al
rapporto tra l'altra parte e tutto il segmento)
•
dalla proprietà
fondamentale delle proporzioni si scrive
•
Chiamando ora x il segmento
AC e ricavando CB come 1-x impostiamo e risolviamo l'equazione
• X2=
(1-X) . 1
Si
tratta di una equazione di secondo grado il cui risultato positivo,
l'unico da considerare dal momento che cerchiamo una lunghezza, è il
numero irrazionale 0,61803398875........ che da ora in poi
approssimiamo come 0,618.
Siamo
così in grado di costruire un rettangolo, detto rettangolo aureo, di
dimensioni
AB
=1 e BC = 1+0.618= 1,618 .
Potremo adesso suddividere
il rettangolo in un quadrato di lato 1 e in un altro rettangolo aureo
che può a sua volta essere suddiviso in un quadratino e un altro
rettangolino aureo e così via....
E
ancora potremo ingrandire il rettangolo di partenza considerando il
suo lato maggiore come il lato di un quadrato che affianchiamo al
rettangolo di partenza e che ci conduce ad un rettangolo aureo più
grande e così via.
Per
costruire la nostra spirale aurea basterà puntare il compasso in un
vertice del quadratino più piccolo, aprire quanto il lato e
tracciare un arco di cerchio fino a giungere sul vertice del quadrato
contiguo; da lì si procede tracciando archi di cerchio di raggio
uguale di volta in volta ai vari lati dei quadrati. Si ottiene una
curva spiraliforme che rappresenta la spirale aurea.
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